Exposiciones
El método ECO: Una herramienta para el conteo de estructuras combinatorias
Resumen:
Un problema central en combinatoria enumerativa consiste en encontrar la función generatriz de una familia de objetos dados. El método ECO (siglas en inglés de "Enumeration of Combinatorial Objects") es una técnica diseñada para derivar la función generatriz de objetos combinatorios mediante la identificación de regularidades en su generación. En esta charla, presentaremos el marco teórico de esta técnica, exploraremos su aplicación en una amplia variedad de objetos combinatorios y mencionaremos algunos problemas abiertos relacionados con esta teoría.
Publico objetivo: A partir de pregrado/ licenciatura
Tipo de charla: Investigación.
Fecha: 19/07/2024
UN RECORRIDO HISTÓRICO POR EL PROBLEMA DE LOS CONJUNTOS PRODUCTO PEQUEÑO
Resumen:
Algunos problemas pertenecientes a la teoría de números pueden ser estudiados en estructuras algebraicas más generales, entre estos, un problema de interés es encontrar la cardinalidad mínima del conjunto producto $AB=\{ab:a \in A, b \in B\}$, donde A y B son subconjuntos no vacíos de un grupo G. Es decir, se desea determinar a la función $\mu_G(r,s)$ dada por, $$\mu_G(r,s)=\text{mín}\{ |AB|:A, B\subseteq G\,,|A|=r, \,|B|=s\}$$
Publico objetivo: A partir de pregrado/ licenciatura.
Tipo de charla: Investigación.
Fecha: 12/07/2024
Teoría de Fredholm: Una Introducción a las Ecuaciones Lineales Integrales
Resumen:
La teoría de Fredholm se centra en el estudio de ecuaciones integrales y el análisis funcional, particularmente en el análisis de operadores integrales compactos. Primero, analizaremos la teoría básica considerando las funciones en el espacio de las funciones continuas. Presentaremos un resultado fundamental en este contexto. Luego, avanzaremos hacia espacios de Hilbert donde enunciaremos varios teoremas sobre la existencia y unicidad de soluciones. En este entorno, la teoría de Fredholm proporciona herramientas más sofisticadas para el análisis de ecuaciones integrales. El resultado principal de esta teoría es el Teorema de la Alternativa de Fredholm, que ofrece una caracterización para la existencia de soluciones a ecuaciones integrales. Este teorema establece condiciones bajo las cuales una ecuación integral tiene solución, y si no, proporciona información sobre la naturaleza de estas
Publico objetivo: A partir de pregrado/ licenciatura
Tipo de charla: Investigación.
Fecha: 05/07/2024
Submodularidad y representación combinatoria para el problema de diseño de redes multiproducto
Resumen:
Una clase particular en los problemas de optimización combinatoria es la llamada como problemas de diseño de redes (NDPs). Los NDP son clasificados como NP-hard y constituyen un área rica para varias aplicaciones, ha sido usado para diseñar y operar sistemas eficientes en sectores como la programación de personal, diseño de redes de servicios, diseño de redes logísticas, telecomunicaciones, entre otros. En términos generales, un NDP se puede definir de la siguiente manera. Dado un grafo, se debe determinar subconjuntos de nodos o arcos para activar/instalar (es decir, el diseño de la red) para que se satisfaga algún requisito mientras se minimiza/maximiza una función objetivo generalmente asociada con los costos/beneficios por abrir o usar los arcos y los nodos. \\ En este trabajo nos centramos en uno de los NDP más conocidos, el problema de diseño de red no capacitada de múltiples productos (MUND). El MUND, a grandes rasgos, consiste en seleccionar un conjunto de arcos de un grafo dirigido de tal manera que todos los requisitos se satisfacen a un costo mínimo; aquí, los requisitos de flujo se asocian a un producto cuya demanda debe ser satisfecha mediante la entrega, desde un origen a un nodo de destino.\\ La contribución de nuestro trabajo es doble. Primero,establecemos una nueva representación combinatoria del MUND donde en lugar de tomar como objetos combinatorios los nodos y arcos tomamos el conjunto de posibles caminos (con sus nodos y aristas) por los cuales es posible enviar el flujo de la red para que se satisfagan los requerimientos, basados en estos objetos combinatorios establecemos una nueva representación del MUND cuya función objetivo (basandonos en resultados de Nemhauser) satisface la propiedad de submodularidad y segundo, en base a dicha representación, proponemos heurísticas codiciosas, para dos variantes del problema, tales que dichas heurísticas sean algoritmos de aproximación que corren en tiempo polinomial y para los cuales es posible establecer cotas del peor caso de $\left(\frac{r-1}{r}\right)^r$ (donde $r$ es un criterio de parada), alcanzando una cota de 1/e para grandes instancias, que según nuestro conocimiento, mejora la resultados del estado actual del arte para casos particulares del MUND. Adicionalmente, damos una representación con matroides como objetos combinatorios que cumple algunos de los resultados anteriormente descritos.
Publico objetivo: Todo publico
Tipo de charla: Divulgación.
Fecha: 19/04/2024
Combinatoria Enumerativa: Particiones de conjuntos y algunas propiedades interesantes
Resumen:
Las particiones de conjuntos son uno de los temas más estudiados en combinatoria enumerativa y tienen múltiples conexiones con otros campos de las matemáticas modernas. En esta charla vamos a dar una introducción muy básica a las particiones configuradas, así como algunas de sus propiedades más interesantes. Además, mostraremos cómo aparecen naturalmente al calcular el vector f de la subdivisión baricéntrica. Parte de esta charla está inspirada en el artículo Extensiones de particiones y permutaciones de conjuntos - Jhon B. Caicedo, Victor H. Moll, José L. Ramı́rez y Diego Villamizar.
Publico objetivo: A partir de pregrado/ licenciatura
Tipo de charla: Investigación.
Fecha: 25/11/2023
Expansión asintótica de valores propios para matrices de Toeplitz tetradiagonales no hermitianas con espectro real
Resumen:
En esta charla consideramos una familia de matrices de Toeplitz tetradiagonales (= cuatro diagonales distintas de cero) cuyo conjunto límite consistente en un solo arco analítico. Para estas matrices nosotros obtendremos expansiones asintóticas individuales para todos los valores propios, a medida que el tamaño de la matriz llega a infinito. Además, proporcionamos expansiones específicas para los valores propios extremos, que son los valores propios que se aproximan a los puntos extremos del conjunto límite. A diferencia de otros trabajos relacionados, estudiamos matrices Toeplitz no hermitianas que tienen una distribución no canónica y su conjunto límite esta contenido en los reales. La familia considerada no pertenece a la llamada clase de simple-loop, sin embargo conseguimos extender la teoría a este caso. Las fórmulas obtenidas revelan los detalles más sutiles de la estructura de valores propios y nos permiten calcular directamente valores propios con gran precisión, incluso para matrices de tamaño relativamente pequeño.
Publico objetivo: A partir de pregrado/ licenciatura
Tipo de charla: Investigación.
Fecha: 25/11/2023
Funciones multisimétricas y politopos de transporte
Resumen:
En el presente trabajo se exploran maneras de calcular los índices que indican el resultado de dos funciones elementales multisimétricas desde un punto de vista combinatorio, utilizando como herramienta principal los politopos de transporte de dos vías, y usando el algoritmo RSK para estudiar su relación con los tableaus de young semiestandar.
Publico objetivo: A partir de pregrado/ licenciatura
Tipo de charla: Investigación.
Fecha: 18/07/2023
La teoría de especies y sus relaciones con las funciones simétricas
Resumen:
La teoría de especies combinatorias sirve como herramienta para analizar estructuras discretas, tanto etiquetadas como no etiquetadas. Basándonos en estas ideas se dá una descripción combinatoria para la categorificación del espacio afín, haciendo uso de algunos conceptos de la teoría de categorías.
Publico objetivo: A partir de pregrado/ licenciatura
Tipo de charla: Investigación.
Fecha: 18/07/2023
Funciones de k-Schur en el superespacio.
Resumen:
Las funciones simétricas es un tema de mucho estudio en la combinatoria algebraica. Tiene múltiples aplicaciones y aparece en diferentes campos de la matemática como lo es la teoría de representaciones, geometría algebraica, álgebra conmutativa, entre otros. Uno de los temas más interesantes en esta teoría, es encontrar una demostración de la conjetura de positividad de Macdonald desde un punto de vista combinatorio. Con el objetivo de encontrar dicha demostración, en [1] Lapointe, Lascoux & Morse definieron una nueva familia de funciones simétricas llamadas átomos. Esta nueva familia cumple propiedades muy puntuales e interesantes, las cuales siguen siendo motivo de estudio. La presente charla tiene como objetivo mostrar de manera experimental (sin definición formal) la posible existencia de una familia de funciones simétricas en el superespacio, que cumplen las mismas propiedades definidas en [1]. Esta nueva familia se conocen como las funciones de k-Schur en el superespacio. [1] - L. Lapointe, A. Lascoux y J. Morse. Tableau atoms and a new Macdonald posi- tivity conjecture. En: Duke Mathematical Journal 116.1 (2003), p ́ags. 103-146. doi: 10.1215/S0012-7094-03-11614-2. url: https://doi.org/10.1215/ S0012-7094-03-11614-2.
Publico objetivo: A partir de pregrado/ licenciatura
Tipo de charla: Investigación.
Fecha: 11/05/2024
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